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Ecuación de las cónicas
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Resumen—La
sección cónica (o simplemente cónica) se denomina a todas las curvas resultantes de las diferentes
intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice,
se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos:
elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
I. INTRODUCCIÓN
En este
trabajo presentamos lugares geométricos que son muy importantes en la Geometría
analítica y que se originan de considerar cortes en diferentes ángulos de un
cono doble circular recto, mediante un plano, dando lugar a las figuras
llamadas precisamente Cónicas, o también Secciones Cónicas, las que según el
ángulo de corte reciben el nombre de parábola, elipse, hipérbola, y algunos
casos especiales de estas curva.
Todas estas
secciones cónicas tiene una propiedad común que es satisfecha por cada uno de
sus puntos, y es que el cociente de la distancia de cada uno de estos puntos
hasta un punto fijo F, llamado foco, entre su distancia a una recta fija D,
llamada directriz, es siempre constante, denotada por E y denominada
excentricidad.
II. Estado del Arte
A. Definiciones
Cónica: Se llama cónica a la curva
obtenida al cortar una superficie cónica por un plano.
Una superficie cónica de revolución
está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija,
llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.
La generatriz es una cualquiera de
las rectas oblicuas.
El vértice es el punto central donde
se cortan las generatrices.
Las hojas son las dos partes en las
que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.
Hipérbola: Curva simétrica respecto
de dos ejes perpendiculares entre sí, compuesta de dos ramas abiertas,
dirigidas en sentidos opuestos, que se aproximan indefinidamente a dos
asíntotas, de modo tal que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos
es siempre constante.
La hipérbola es la sección producida
en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando
con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las
dos hojas de la superficie cónica.
α > β
Parábola: Curva abierta formada por
dos líneas o ramas simétricas respecto de un eje y en que todos sus puntos
están a la misma distancia del foco (un punto) y de la directriz (recta
perpendicular al eje)
La parábola es la sección producida
en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo
paralelo a la generatriz.
α = β
La parábola es una curva abierta que
se prolonga hasta el infinito.
Elipse: Figura
geométrica curva y cerrada, con dos ejes perpendiculares desiguales, que
resulta de cortar la superficie de un cono por un plano no perpendicular a su
eje, y que tiene la forma de un círculo achatado
La elipse es la sección producida en
una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea
paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que
forman eje y generatriz.
α < β <90º
Circunferencia: Contorno o perímetro
de una superficie u otra cosa con forma redondeada o esférica
La circunferencia es la sección
producida por un plano perpendicular al eje.
β = 90º
La circunferencia es un caso
particular de elipse
I. Conclusiones
Las curvas cónicas se empezaron a estudiar hace miles de años, mucha gente destinó su vida en entender y descifrar por qué y cómo de las cónicas.
Las mismas son muy aplicadas en Ingeniera.
Referencias
[1] Mathematics superiors pre
calculo Edwin calando
[2] Geometría analítica Lehman
[3] Geometría analítica Cónicas
Walter mora
[4] Geometría analítica Joseph Kindle
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