Ecuación de las cónicas



Ecuación de las cónicas


ResumenLa sección cónica (o simplemente cónica) se denomina a  todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

I.     INTRODUCCIÓN

En este trabajo presentamos lugares geométricos que son muy importantes en la Geometría analítica y que se originan de considerar cortes en diferentes ángulos de un cono doble circular recto, mediante un plano, dando lugar a las figuras llamadas precisamente Cónicas, o también Secciones Cónicas, las que según el ángulo de corte reciben el nombre de parábola, elipse, hipérbola, y algunos casos especiales de estas curva.
Todas estas secciones cónicas tiene una propiedad común que es satisfecha por cada uno de sus puntos, y es que el cociente de la distancia de cada uno de estos puntos hasta un punto fijo F, llamado foco, entre su distancia a una recta fija D, llamada directriz, es siempre constante, denotada por E y denominada excentricidad.

II.     Estado del Arte

A.      Definiciones

Cónica: Se llama cónica a la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano.
Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.





La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.

El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.

Las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.


Hipérbola: Curva simétrica respecto de dos ejes perpendiculares entre sí, compuesta de dos ramas abiertas, dirigidas en sentidos opuestos, que se aproximan indefinidamente a dos asíntotas, de modo tal que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es siempre constante.




La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.

α > β

La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas






Parábola: Curva abierta formada por dos líneas o ramas simétricas respecto de un eje y en que todos sus puntos están a la misma distancia del foco (un punto) y de la directriz (recta perpendicular al eje)










La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.

α = β

La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.
 






Elipse: Figura geométrica curva y cerrada, con dos ejes perpendiculares desiguales, que resulta de cortar la superficie de un cono por un plano no perpendicular a su eje, y que tiene la forma de un círculo achatado


La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.

α < β <90º

La elipse es una curva cerrada.                        






 
  

Circunferencia: Contorno o perímetro de una superficie u otra cosa con forma redondeada o esférica



La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
β = 90º

La circunferencia es un caso particular de elipse




I.     Conclusiones

Las curvas cónicas se empezaron a estudiar hace miles de años, mucha gente destinó su vida en entender y descifrar por qué y cómo de las cónicas.
Las mismas  son muy aplicadas en Ingeniera.



Referencias
[1]     Mathematics superiors pre calculo Edwin calando
[2]     Geometría  analítica Lehman
[3]     Geometría analítica Cónicas  Walter mora
[4]     Geometría analítica Joseph  Kindle